ggT(a,b)=1 folgt ab|c < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:41 Do 27.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
a) Seien a,b in [mm] $\mathbf{N}$ [/mm] mit $ggT(a,b)=1$. Für [mm] $n\in \mathbf{Z}$ [/mm] zeige dass $a|n, b|n [mm] \Rightarrow [/mm] ab|n$.
b). Seien nun $a,b,c [mm] \in$ $\mathbf{N}$ [/mm] mit $ggT(a,c)=ggT(b,c)=1$.
i) Zeige, dass $ggT(ab,c)=1 $
ii) Sei $ggT(a,b)=1$. Für [mm] $n\in \mathbf{Z}$ [/mm] zeige, dass $a|n, b|n, c|n [mm] \Rightarrow [/mm] abc|n$ |
Hallo!
Bei
1.a) Behauptung: a,b in [mm] $\mathbf{N}$ [/mm] mit $ggT(a,b)=1$, [mm] $\forall n\in \mathbf{Z}$ [/mm] $a|n, b|n [mm] \Rightarrow [/mm] ab|n$
Beweis:
$a|c [mm] \gdw [/mm] c=aq $ , $b|c [mm] \gdw [/mm] c=bq' $, mit $ggT(a,b) = ax+by = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] axc+byc = abxq' + abqb = ab(xq'+yq)=abq'' [mm] \Rightarrow [/mm] ab|c$
b)
i) Behauptung: Seien $a,b,c [mm] \in$ $\mathbf{N}$ [/mm] mit $ggT(a,c)=ggT(b,c)=1$, dann ist $ggT(ab,c)=1 $.
Beweis:
$ggT(a,c) [mm] \Rightarrow [/mm] ar+cs = 1 ; r,s [mm] \in \mathbf{N}$ [/mm] und $ggT(b,c)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] bt+cu = 1; t,u [mm] \in \mathbf{N}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 1 = (ar+cs)(bt+cu)=(ab)(rt)+(aru+sbt+csu)c$
[mm] $\Rightarrow [/mm] ggT(ab,c) = 1 $
ii) Behauptung: Sei $ggT(a,b)=1$. Für [mm] $n\in \mathbf{Z}$ [/mm] zeige, dass $a|n, b|n, c|n [mm] \Rightarrow [/mm] abc|n$
das folgt direkt aus Aufgabe a)…. ? ? ?
Stimmt das so?
Wäre froh und dankbar wenn jemand schnell drüberschauen könnte!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:52 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1.
> a) Seien a,b in [mm]\mathbf{N}[/mm] mit [mm]ggT(a,b)=1[/mm]. Für [mm]n\in \mathbf{Z}[/mm]
> zeige dass [mm]a|n, b|n \Rightarrow ab|n[/mm].
>
> b). Seien nun [mm]a,b,c \in[/mm] [mm]\mathbf{N}[/mm] mit [mm]ggT(a,c)=ggT(b,c)=1[/mm].
>
> i) Zeige, dass [mm]ggT(ab,c)=1[/mm]
> ii) Sei [mm]ggT(a,b)=1[/mm]. Für [mm]n\in \mathbf{Z}[/mm] zeige, dass [mm]a|n, b|n, c|n \Rightarrow abc|n[/mm]
>
> Hallo!
>
>
>
> Bei
>
> 1.a) Behauptung: a,b in [mm]\mathbf{N}[/mm] mit [mm]ggT(a,b)=1[/mm], [mm]\forall n\in \mathbf{Z}[/mm]
Mach das [mm]\forall n\in \mathbf{Z}[/mm] weg ! Vorausgesetzt ist: für ein n [mm] \in \IZ [/mm] gilt: a|n, b|n
> [mm]a|n, b|n \Rightarrow ab|n[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]a|c \gdw c=aq[/mm] , [mm]b|c \gdw c=bq' [/mm], mit [mm]ggT(a,b) = ax+by = 1 \Rightarrow axc+byc = abxq' + abqb = ab(xq'+yq)=abq'' \Rightarrow ab|c[/mm]
Wenn Du statt c n schreibst , kommt es hin.
>
>
> b)
>
> i) Behauptung: Seien [mm]a,b,c \in[/mm] [mm]\mathbf{N}[/mm] mit
> [mm]ggT(a,c)=ggT(b,c)=1[/mm], dann ist [mm]ggT(ab,c)=1 [/mm].
>
>
> Beweis:
>
> [mm]ggT(a,c) \Rightarrow ar+cs = 1 ; r,s \in \mathbf{N}[/mm] und
> [mm]ggT(b,c)=1 \Rightarrow bt+cu = 1; t,u \in \mathbf{N}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1 = (ar+cs)(bt+cu)=(ab)(rt)+(aru+sbt+csu)c[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ggT(ab,c) = 1[/mm]
O.K.
>
>
>
>
> ii) Behauptung: Sei [mm]ggT(a,b)=1[/mm]. Für [mm]n\in \mathbf{Z}[/mm] zeige,
> dass [mm]a|n, b|n, c|n \Rightarrow abc|n[/mm]
>
> das folgt direkt aus Aufgabe a)…. ? ? ?
So, so, wie denn ?
FRED
>
>
>
> Stimmt das so?
>
>
> Wäre froh und dankbar wenn jemand schnell drüberschauen
> könnte!!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Do 27.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> so so wieso
Weil in a) gezeigt wurde dass wenn $a|n , b|n $ dann existiert eine Zahl $w = ab$ so dass $w|n$ und damit zu zeigen $wc|n$ und das ist fall a)
> FRED
Danke.
Gruss
kushkush
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